Un
anneau intègre est, en
Mathématiques et plus particulièrement dans la
Théorie des anneaux, un anneau qui ne possède aucun
Diviseur de zéro, et non réduit à l'élément neutre pour la première loi.
Définition
Un anneau
(A,+, × ) est dit
intègre s'il est non réduit à l'élément neutre et ne possède aucun
Diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de A est régulier pour la deuxième loi notée multiplicativement, soit encore :
∀ a, b ∈ A, (a × b = 0 A (a = 0 A ou b = 0 A )) Par convention, l'anneau nul
{0 A } n'est pas intègre.
Propriétés
- Tout corps, ou plus généralement tout anneau à division (corps non commutatif) est un anneau intègre.
- Tout anneau commutatif intègre peut être plongé dans un corps. Il existe à isomorphisme près un plus petit corps dans lequel il peut être plongé, appelé le Corps des fractions.
- Un anneau commutatif A est intègre si et seulement si son anneau des polynômes A l'est.
Exemples
- L'ensemble Z des entiers relatifs est un anneau intègre. Par définition, Q est son corps des fractions.
- L'anneau des congruences modulo 6 noté Z/6Z n'est pas intègre car on peut y écrire .
- L'anneau des congruences modulo n noté Z/n Z est intègre si n est premier, et dans ce cas, c'est un corps.